Основы теории автоматического управления

e-mail:cayann@yandex.ru

Херсон , ул. 40 лет Октября, 23

Херсонский политехнический колледж ОНПУ

Главная
/
Лекции
/
Лекция №5 Комплексные числа
/

Лекция №5 Комплексные числа

Комплексным числом называется число вида

z= x+ i y ,

где x и y действительные числа,

а i – мнимая единица такая, что

$i^{2}=-1$ .

При этом такая запись комплексного числа называется алгебраической

x=Re(z) - называется действительной частью комплексного числа

y=Im(z) - называется мнимой частью комплексного числа

Каждое комплексное число может быть так же представлено в тригонометрической форме

$z = r( \cos \varphi + i \sin \varphi)$

или показательной форме:

$z = r e^{i \varphi}$

где

$r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ – модуль комплексного числа,

$\varphi = \arg z$ – аргумент комплексного числа такой, что

$\text{tg }\varphi = \frac{y}{x}$ , где $- \pi \leq \varphi \leq \pi$ или $0 \leq \varphi \leq 2\pi$ .

Вывод:

Для любого ненулевого комплексного числа

Для любого ненулевого комплексного числа существует ровно n корней n-й степени из комплексного числа z

где ,– арифметический кореньn-й степени из положительного числа

Для любого ненулевого комплексного числа существует ровно n корней n-й степени из комплексного числа z все они могут быть найдены по формуле

Формы комплексного числа
алгебраическая	z= x+ i y	x=Re(z)	действительная часть комплексного числа
алгебраическая	z= x+ i y	y=Im(z)	мнимая часть комплексного числа
		$r=\|z\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$	модуль комплексного числа
		$\varphi = \arg z$	аргумент комплексного числа
		$\text{tg }\varphi = \frac{y}{x}$	$- \pi \leq \varphi \leq \pi$ или $0 \leq \varphi \leq 2\pi$
показательная	$z = r e^{i \varphi}$

тригонометрическая	$z = r( \cos \varphi + i \sin \varphi)$

Формула Эйлера	cos φ + i sin φ = e ⁱ^φ

Формула Муавра

	Корни из комплексных чисел
Для любого ненулевого комплексного числа существует ровно n корней n-й степени из комплексного числа z все они могут быть найдены по формуле		$z = r( \cos \varphi + i \sin \varphi)$
		где , – арифметический корень n-й степени из положительного числа

Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости.

Для них введены операции сложения, умножения, вычитания и деления. Так же их можно возводить в степень и извлекать из них корень, для этого используют формулу Муавра.

Примеры

ПРИМЕР 1

Задание

Представить в показательной и тригонометрической формах комплексное число $z = 2-2i$ .

Решение

Найдем модуль заданного комплексного числа, по условию действительная часть $x=2$ , а мнимая $y=-2$ , тогда подставляя в формулу для нахождения модуля, получим

$r =\sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{2^{2}+(-2)^{2}} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$

Вычислим аргумент заданного комплексного числа:

$\text{tg } \varphi = \frac{-2}{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } \text{tg } \varphi = -1 \text{ } \Rightarrow \text{ } \varphi = \text{arctg } (-1) \text{ } \Rightarrow \text{ } \varphi = - \frac{\pi}{4}$