2. МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ АСУ
Вы познакомитесь:
- С особенностями передаточных свойств элементов АСУ.
- С характеристиками воздействий и сигналов в АСУ.
- Со статическими и динамическими характеристиками элементов АСУ.
2.1. Особенности передаточных свойств элементов АСУ
При взаимодействии частей АСУ между собой, а также и при процессе функционирования самого объекта управления осуществляется преобразование энергии одного вида в энергию другого вида. Это обусловлено различной физической природой элементов, входящих в состав АСУ. Так одна и та же система может включать в себя, например, механические, электрические и гидравлические элементы. Но процессы преобразования и перераспределения энергии в АСУ, в отличие от многих других физических систем, строго ориентированы, т. е. энергия и воздействия передаются только в определенном направлении.
Направленность передачи воздействий в АСУ обеспечивается благодаря наличию у одного или нескольких конструктивных элементов системы так называемого детектирующего свойства. Это свойство заключается в том, что рассматриваемый элемент не оказывает обратного действия на предыдущий элемент, а его выходная величина не влияет на свою входную. Например, электрический четырехполюсник обладает однонаправленностью передачи воздействий, если он не нагружает предшествующий четырехполюсник, т. е. если выходное сопротивление предшествующего элемента существенно меньше входного сопротивления рассматриваемого четырехполюсника.
Обычно свойством однонаправленности обладают те элементы АСУ, которые передают информационные воздействия. К таким элементам относятся в первую очередь измерители и преобразователи сигналов. Конструктивные части системы, через которые передаются энергетические воздействия, этим свойством, как правило, не обладают.
Только вследствие наличия элементов направленного действия в АСУ создается замкнутый контур передачи воздействий, при помощи которого и осуществляется целенаправленный процесс управления. Без таких элементов АСУ были бы неработоспособны или малоэффективны.
2.2. Характеристики воздействий и сигналов в АСУ
Большое разнообразие конструкций и условий работы АСУ определяет многообразие воздействий и сигналов. Анализ конкретных АСУ существенно упрощается, если пользоваться разработанной в ТАУ типизацией воздействий и сигналов.
Рассмотрим основные типы сигналов и воздействий.
В зависимости от характера изменения во времени различают сигналы:
- регулярный (детерминированный);
- нерегулярный.
Регулярный (детерминированный) сигнал – сигнал, который изменяется по определенному закону и может быть описан конкретной математической функцией времени.
Пример регулярного сигнала приведен на рис. 2.1, а.
Нерегулярный сигнал – сигнал, который изменяется во времени случайным образом и не может быть представлен конкретной математической функцией.
Характер изменения случайного сигнала во времени показан на рис.2.1, б.
В зависимости от определенности во времени различают сигналы:
- непрерывный (аналоговый);
- дискретный.
Непрерывный (аналоговый) сигнал – сигнал, который определен в любой момент времени.
Примерами такого сигнала являются сигналы, приведенные на рис. 2.1, а,б.
Дискретный сигнал – сигнал, который определен лишь в некоторые моменты времени.
Пример дискретного сигнала приведен на рис. 2.1, в.
Рис. 2.1. Виды сигналов
При исследовании АСУ и их элементов используют ряд стандартных сигналов, называемых типовыми воздействиями. Эти воздействия описываются простыми математическими функциями и легко воспроизводятся при исследовании АСУ. Использование типовых воздействий позволяет унифицировать анализ различных систем и облегчает сравнение их передаточных свойств.
Наибольшее применение в ТАУ находят следующие типовые воздействия:
- ступенчатое;
- импульсное;
- гармоническое;
- линейное.
Ступенчатое воздействие – воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до некоторого значения и далее остается постоянным (рис. 2.2, а).
Ступенчатому воздействию соответствует функция
0 при t< 0;
x(t) = (2.1)
а0 при t> 0.
При анализе и расчете систем удобно использовать ступенчатое воздействие, у которого величина а0 = 1. Его называют единичным ступенчатым воздействием и обозначают 1(t). Математическое выражение, описывающее единичное ступенчатое воздействие, имеет вид
0 при t< 0;
1(t) = (2.2)
1 при t> 0.
Любое неединичное ступенчатое воздействие можно обозначить а01(t). Единичное ступенчатое воздействие, возникающее в момент времени t – t1, обозначают 1(t – t1).
Ступенчатое воздействие чаще всего используют при исследованиях систем стабилизации параметров, так как эти воздействия наиболее близки к реальным входным (задающим и возмущающим) воздействиям систем стабилизации.
Импульсное воздействие – одиночный импульс прямоугольной формы (рис. 2.2, б), имеющий достаточно большую высоту и малую длительность (по сравнению с инерционностью испытываемой системы) с площадью а0.
При математическом анализе АСУ используют единичное импульсное воздействие, описываемое так называемой дельта-функцией
0 при t< 0;
d (t) = (2.3)
¥ при t> 0,
причем
(2.4)
Последние два выражения позволяют рассматривать дельта-функцию, как импульс, имеющий бесконечно большую высоту, бесконечно малую длительность и единичную площадь. Дельта-функцию можно определить также как производную единичного ступенчатого воздействия:
(2.5)
Неединичное импульсное ступенчатое воздействие с площадью а0 обозначается
x(t) = а0 d (t). (2.6)
Гармоническое воздействие – сигнал синусоидальной формы, описываемый функцией (рис. 2.2, в)
x(t) = xm sinw t ,(-¥ < t < ¥ ), (2.7)
где xm – амплитуда сигнала; w = 2p / Т – круговая частота; Т – период сигнала.
Гармонический сигнал, начинающий действовать в момент времени t = 0, описывают при помощи единичной ступенчатой функции:
x(t) = 1(t) xm sinw t ,(0 £ t <¥ ). (2.8)
Линейное воздействие – воздействие, описываемое функцией (рис. 2.2, г)
x(t) = 1(t) а1 t ,(0 £ t < ¥ ). (2.9)
Коэффициент а1 характеризует скорость нарастания воздействия x(t).
Рис. 2.2. Виды типовых воздействий
По характеру изменения выходной величины во времени различают следующие режимы элемента АСУ:
- статический;
- динамический.
Статический режим – состояние элемента АСУ, при котором выходная величина не изменяется во времени, т. е. y(t) = const.
Очевидно, что статический режим (или состояние равновесия) может иметь место лишь тогда, когда входные воздействия постоянны во времени. Связь между входными и выходными величинами в статическом режиме описывают алгебраическими уравнениями.
Динамический режим – состояние элемента АСУ, при котором входная величина непрерывно изменяется во времени, т. е. y(t) = var.
Динамический режим имеет место, когда в элементе после приложения входного воздействия происходят процессы установления заданного состояния или заданного изменения выходной величины. Эти процессы описываются в общем случае дифференциальными уравнениями.
Динамические режимы в свою очередь разделяются на:
- неустановившийся (переходный);
- установившийся (квазиустановившийся).
Неустановившийся (переходный) режим – режим, существующий от момента начала изменения входного воздействия до момента, когда выходная величина начинает изменяться по закону этого воздействия.
Установившийся режим – режим, наступающий после того, когда выходная величина начинает изменяться по такому же закону, что ивходное воздействие, т. е. наступающий после окончания переходного процесса.
В установившемся режиме элемент совершает вынужденное движение. Очевидно, что статический режим является частным случаем установившегося (вынужденного) режима при x(t) = const.
Понятия «переходный режим» и «установившийся режим» иллюстрируются графиками изменения выходной величины y(t) при двух типовых входных воздействиях x(t) (рис. 2.3). Граница между переходным и установившимся режимами показана вертикальной пунктирной линией.
Рис. 2.3. Переходные и установившиеся режимы при типовых воздействиях
2.3. Статические характеристики элементов
Передаточные свойства элементов и АСУ в статическом режиме описывают с помощью статических характеристик.
Статическая характеристика элемента – зависимость выходной величины y элемента от входной x
y = f(x) = y(x) (2.10)
в установившемся статическом режиме.
Статическая характеристика конкретного элемента может быть задана в аналитическом виде (например, y = kx2) или в виде графика (рис. 2.4).
Рис. 2.4. Статическая характеристика элемента
Как правило, связь между входной и выходной величинами – однозначная. Элемент с такой связью называют статическим (позиционным) (рис. 2.5, а). Элемент с неоднозначной связью – астатическим (рис. 2.5, б).
Рис. 2.5. Виды статических характеристик
По виду статических характеристик элементы разделяют на:
- линейные;
- нелинейные.
Линейный элемент – элемент, имеющий статическую характеристику в виде линейной функции (рис. 2.6):
y = b + ax. (2.11)
Рис. 2.6. Виды линейной функции
Нелинейный элемент – элемент, имеющий нелинейную статическую характеристику.
Нелинейная статическая характеристика аналитически обычно выражается в виде степенных функций, степенных полиномов, дробных рациональных функций и более сложных функций (рис. 2.7).
Рис. 2.7. Виды нелинейных функций
Нелинейные элементы в свою очередь подразделяют на:
- элементы с существенно нелинейной статической характеристикой;
- элементы с несущественно нелинейной статической характеристикой;
Несущественно нелинейная статическая характеристика – характеристика, описываемая непрерывной дифференцируемой функцией.
Практически это математическое условие означает, что график функции y = f(x) должен иметь гладкую форму (рис. 2.5, а).В ограниченном диапазоне изменения входной величины x такая характеристика может быть приближенно заменена (аппроксимирована) линейной функцией. Приближенная заменанелинейной функции линейной называется линеаризацией. Линеаризация нелинейной характеристикиправомерна, если в процессеработы элемента его входная величина меняется в небольшом диапазоне вокруг некоторого значения x = x0 .
Существенно нелинейная статическая характеристика – характеристика, описываемая функцией, имеющей изломы или разрывы.
Примером существенно нелинейной статической характеристики может служить характеристика реле (рис. 2.5, в), которое при достижении входного сигнала x (ток в обмотке реле) некоторого значения x1изменит выходной сигнал y (напряжение в коммутируемой цепи) с уровня y1 до уровня y2 . Замена такой характеристики прямой линией с постоянным углом наклона привела бы к существенному несоответствию между математическим описанием элемента и реальным физическим процессом, протекающем в элементе. Поэтому существенно нелинейная статическая характеристика линеаризации не подлежит.
Линеаризацию гладких (несущественно нелинейных) статических характеристик можно осуществлять либо по методу касательной, либо по методу секущей.
Так, например, линеаризация по методу касательной заключается в разложении функции y(x) в интервале вокруг некоторой точки x0 в ряд Тейлора и в последующем учете первых двух членов этого ряда:
y(x) » y(x0) + y¢(x0)(x – x0), (2.12) где y¢(x0) – значение производной функции y(x) в заданной точке А с координатами x0 и y0 .
Геометрический смысл такой линеаризации заключается в замене кривой y(x) касательной ВС, проведенной к кривой в точке А (рис. 2.8).
Рис. 2.8. Линеаризация статической характеристики методом касательной
При анализе АСУ удобно линейные статические характеристики рассматривать в отклонениях переменных x и y от значений x0 и y0 :
Dy = y - y0 ; (2.13)
Dx = x - x0 . (2.14)
Тогда с учетом обозначений (2.13, 2.14) выражение (2.12) принимает вид
Dy = k Dx, (2.15)
где k = y¢(x0) – передаточный коэффициент элемента, характеризующий его передаточные свойства в статическом режиме.
2.4. Динамические характеристики элементов АСУ
Передаточные свойства элементов АСУ в динамическом режиме описывают с помощью динамических характеристик.
Различают следующие формы динамических характеристик:
- обыкновенное дифференциальное уравнение;
- временные характеристики;
- передаточная функция;
- частотные характеристики.
2.4.1. Обыкновенное дифференциальное уравнение
Обыкновенное дифференциальное уравнение является наиболее общей и полной формой описания передаточных свойств элементов АСУ.
Для элемента имеющего один входной сигнал x(t) и один выходной y(t) обыкновенное дифференциальное уравнение в общем случае имеет вид
Ф[ y(t), y¢(t),… y(n)(t); x(t),…x(m)(t), t ] = 0, (2.16)
где t – независимая переменная (обычно время).
Для реальных систем m £ n.
Это уравнение динамики (движения) элемента. Движения в широком смысле слова, когда под движением понимается любое изменение сигналов.
Дифференциальное уравнение (2.16) может быть:
- линейное;
- нелинейное.
Линейное дифференциальное уравнение – уравнение, в котором функция Ф линейна по отношению ко всем ее аргументам,
т. е. к y(t), y'(t),… y(n)(t); x(t),…x(m)(t), t.
Так, например, передаточные свойства четырехполюсника с линейными элементами (рис. 2.9) описываются линейным дифференциальным уравнением вида
(2.17)
Рис. 2.9. Схема четырехполюсника с линейными элементами
Нелинейное дифференциальное уравнение – уравнение, в котором функция Ф содержит произведения, частные, степени и т. д. переменных y(t), x(t) и их производных.
Так, например, передаточные свойства четырехполюсника с нелинейным резистором (рис. 2.10) описываются нелинейным дифференциальным уравнением вида
0. (2.18)
Рис. 2.10. Схема четырехполюсника с нелинейным резистором
В функцию Ф (дифференциальное уравнение) входят также величины, называемые параметрами. Они связывают между собой аргументы (y(t), y¢(t),… y(n)(t); x(t),…x(m)(t), t) и характеризуют свойства элемента с количественной стороны. Например, параметрами являются масса тела, активное сопротивление, индуктивность и емкость проводника и т. д.
Большинство реальных элементов описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, что значительно усложняет последующий анализ АСУ. Поэтому стремятся перейти от нелинейных к линейным уравнениям вида
(2.19)
Для всех реальных элементов выполняется условие m £ n .
Коэффициенты a0, a1…an и b0, b1…bm в уравнении (2.19) называются параметрами. Иногда параметры изменяются во времени, тогда элемент называют нестационарным или с переменными параметрами. Таковым, например, является четырехполюсник, схема которого приведена на рис. 2.10.
Однако в дальнейших рассуждениях будем рассматривать только элементы с постоянными параметрами.
Если при составлении линейного дифференциального уравнения осуществлялась линеаризация статической характеристики элемента, то оно справедливо лишь для окрестности точки линеаризации и может записываться в отклонениях переменных (2.13…2.16). Однако, с целью упрощения записи, отклонения переменных в линеаризованном уравнении будем обозначать теми же символами, что и в исходном нелинейном уравнении, но без символа D .
Важнейшим практическим достоинством линейного уравнения (2.19) является возможность применения принципа наложения, согласно которому изменение выходной величины y(t), возникающее при действии на элемент нескольких входных сигналов xi(t), равно сумме изменений выходных величин yi(t), вызываемых каждым сигналом xi(t) в отдельности (рис.2.11).
Рис. 2.11. Иллюстрация принципа наложения
2.4.2. Временные характеристики
Дифференциальное уравнение не дает наглядного представления о динамических свойствах элемента, но такое представление дает функция y(t), т. е. решение этого уравнения.
Однако одно и то же дифференциальное уравнение может иметь множество решений, зависящих от начальных условий и характера входного воздействия x(t), что неудобно при сопоставлении динамических свойств различных элементов. Поэтому было решено характеризовать эти свойства элемента только одним решением дифференциального уравнения, полученным при нулевых начальных условиях и одном из типовых воздействий: единичном ступенчатом, дельта-функции, гармоническом, линейном. Наиболее наглядное представление о динамических свойствах элемента дает его переходная функция h(t).
Переходная функция h(t) элемента – изменение во времени выходной величины y(t) элемента при единичном ступенчатом воздействии и нулевых начальных условиях.
Переходная функция может быть задана:
- в виде графика;
- в аналитическом виде.
Переходная функция, как и любое решение неоднородного (с правой частью) дифференциального уравнения (2.19), имеет две составляющие:
- вынужденную hв(t) (равна установившемуся значению выходной величины);
- свободную hс(t) (решение однородного уравнения).
Вынужденную составляющую можно получить решая уравнение (2.19) при нулевых производных и x(t) = 1
(2.20)
Свободную составляющую получаем решая уравнение (2.19) при нулевой правой части
hс(t) = (2.21)
где pk – k-й корень характеристического уравнения (в общем случае комплексное число); Сk - k-я постоянная интегрирования (зависит от начальных условий).
Характеристическое уравнение – алгебраическое уравнение, степень и коэффициенты которого совпадают с порядком и коэффициентами левой части линейного дифференциального уравнения вида (2.19)
a0 pn + a1 pn –1 +…+ an = 0. (2.22)
2.4.3. Передаточная функция
Наиболее распространенным методом описания и анализа АСУ является операционный метод (метод операционного исчисления), в основе которого лежит прямое интегральное преобразование Лапласа для непрерывных функций
F(p) = Z{ f(t) } = f(t) e-pt dt . (2.23)
Это преобразование устанавливает соответствие между функцией действительной переменной t и функцией комплексной переменной p = a + jb. Функцию f(t), входящую в интеграл Лапласа (2.23), называют оригиналом, а результат интегрирования – функцию F(p) – изображением функции f(t) по Лапласу.
Преобразование выполнимо лишь для функций, которые равны нулю при t< 0. Формально это условие в ТАУ обеспечивается умножением функции f(t) на единичную ступенчатую функцию 1(t) или выбором начала отсчета времени с момента, до которого f(t) = 0.
Наиболее важными свойствами преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях являются:
Z{ f¢(t) } = pF(p); (2.24)
Z{f (t)dt } = F(p) / p. (2.25)
Операционный метод в ТАУ получил широкое распространение, так как с его помощью определяют так называемую передаточную функцию, которая является самой компактной формой описания динамических свойств элементов и систем.
Применяя прямое преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению (2.19) с использованием свойства (2.24) получим алгебраическое уравнение
D(p)Y(p) = K(p)X(p), (2.26)
где
D(p) = a0 pn + a1 pn-1 +…+ an - собственный оператор; (2.27)
K(p) = b0 pm + b1 pm-1 +…+ bm - входной оператор. (2.28)
Введем понятие передаточной функции.
Передаточная функция – отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях:
(2.29)
Тогда с учетом уравнения (2.26) и обозначений (2.27, 2.28) выражение для передаточной функции принимает вид:
(2.30)
Значение переменной p, при которой передаточная функция W(p) обращается в бесконечность, называется полюсом передаточной функции. Очевидно, что полюсами являются корни собственного оператора D(p).
Значение переменной p, при которой передаточная функция W(p) обращается в нуль, называется нулем передаточной функции. Очевидно, что нулями являются корни входного оператора K(p).
Если коэффициент a0 ¹ 0, то передаточная функция не имеет нулевого полюса ( p = 0 ), характеризуемый ей элемент называют астатическим и передаточная функция этого элемента при p = 0 ( t = ¥ ) равна передаточному коэффициенту
(2.31)
2.4.4. Частотные характеристики
Частотные характеристики описывают передаточные свойства элементов и АСУ в режиме установившихся гармонических колебаний, вызванных внешним гармоническим воздействием. Они находят применение в ТАУ, так как реальные возмущения, а следовательно и реакции на них элемента или АСУ могут быть представлены как сумма гармонических сигналов.
Рассмотрим сущность и разновидности частотных характеристик. Пусть на вход линейного элемента (рис. 2.12, а) в момент времени t = 0 подано гармоническое воздействие с частотой w
x(t) = xm sinw t. (2.32)
Рис. 2.12. Схема и кривые, поясняющие сущность частотных характеристик
По завершении переходного процесса установится режим вынужденных колебаний и выходная величина y(t) будет изменяться по тому же закону, что и входная x(t), но в общем случае с другой амплитудой ym и с фазовым сдвигом j по оси времени относительно входного сигнала (рис. 2.12, б):
y(t) = ym sin(w t + j ) . (2.33)
Проведя аналогичный опыт, но при другой частоте w, можно увидеть, что амплитуда ym и фазовый сдвиг j изменились, т. е. они зависят от частоты. Можно убедиться также, что для другого элемента зависимости параметров ym и j от частоты w иные. Поэтому такие зависимости могут служить характеристиками динамических свойств элементов.
В ТАУ наиболее часто используют следующие частотные характеристики:
- амплитудная частотная характеристика (АЧХ);
- фазовая частотная характеристика (ФЧХ);
- амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ).
Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) – зависимость отношения амплитуд выходного и входного сигналов от частоты
(2.34)
АЧХпоказывает, как элемент пропускает сигналы различной частоты. Пример АЧХ приведен на рис. 2.13, а.
Рис. 2.13. Частотные характеристики:
а – амплитудная; б – фазовая; в – амплитудно-фазовая; г – логарифмическая
Фазовая частотная характеристика ФЧХ – зависимость фазового сдвига между входным и выходным сигналами от частоты.
ФЧХ показывает, какое отставание или опережение выходного сигнала по фазе создает элемент при различных частотах. Пример ФЧХ приведен на рис. 2.13, б.
Амплитудную и фазовую характеристики можно объединить в одну общую – амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ). АФЧХ представляет собой функцию комплексного переменного jw :
W(jw) = A(w ) e jj (w) (показательная форма), (2.35)
где A(w ) – модуль функции; j (w) – аргумент функции.
Каждому фиксированному значению частоты wi соответствует комплексное число W( jwi ), которое на комплексной плоскости можно изобразить вектором, имеющим длину A(wi ) и угол поворота j (wi ) (рис. 2.13, в). Отрицательные значения j (w), соответствующие отставанию выходного сигнала от входного, принято отсчитывать по часовой стрелке от положительного направления действительной оси.
При изменении частоты от нуля до бесконечности вектор W(jw) поворачивается вокруг начала координат, при этом одновременно изменяется длина вектора. Кривая, которую при этом опишет конец вектора, и есть АФЧХ. Каждой точке характеристики соответствует определенное значение частоты.
Проекции вектора W(jw) на действительную и мнимую оси называют соответственно действительной и мнимой частотными характеристиками и обозначают P(w ), Q(w ). Это позволяет записать АФЧХ в алгебраической форме:
W(jw) = P(w ) +j Q(w ) (2.36)
АФЧХ, как и любую комплексную величину, можно также представить в тригонометрической форме
W(jw) = A(w )cosj (w) + j A(w )sinj (w). (2.37)
Аналитическое выражение для АФЧХ конкретного элемента можно получить из его передаточной функции путем подстановки p = jw :
W(jw) = W(p)½p = jw . (2.38)
Связь между различными частотными характеристиками следующая:
A(w ) = ç W(jw) ç = (2.39)
j (w) = arg W(jw) = (2.40)
При практических расчетах АСУ (без применения электронных вычислительных машин) удобно использовать частотные характеристики, построенные в логарифмической системе координат. Такие характеристики называют логарифмическими. Они имеют меньшую кривизну и поэтому могут быть приближенно заменены ломаными линиями, составленными из нескольких прямолинейных отрезков. Причем, эти отрезки в большинстве случаев удается построить без громоздких вычислений при помощи некоторых простых правил. Кроме того, в логарифмической системе координат легко находить характеристики различных соединений элементов, так как умножению и делению обычных характеристик соответствует сложение и вычитание ординат логарифмических характеристик.
За единицу длины по оси частот логарифмических характеристик принимают декаду.
Декада – интервал частот, заключенный между произвольным значением частоты wi и его десятикратным значением 10wi .
Отрезок логарифмической оси частот, соответствующий одной декаде, равен 1.
Обычно в расчетах используют логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ)
L(w) = 20 lgA(w ), (2.41)
ординаты которой измеряют в логарифмических единицах – беллах (Б) или децибеллах (дБ).
Белл – единица измерения мощностей двух сигналов.
Если мощность одного сигнала больше (меньше) мощности другого сигнала в 10 раз, то эти мощности отличаются на 1 Б, (lg 10 = 1). Так как мощность гармонического сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды, то при применении этой единицы для измерения отношения амплитуд перед логарифмом появляется множитель 2. Например, если на некоторой частоте A(w ) = 100, то это означает, что мощности входного и выходного сигналов отличаются в 1002 раз, т.е. на 2lg 100 = 4 Б или на 40 дБ, соответственно и L(w) = 20 lg A(w ) = 40 дБ.
При построении фазовой частотной характеристики логарифмический масштаб применяют только для оси абсцисс (оси частоты).
На рис. 2.13, г показаны ЛАЧХ L(w) (толстая линия) и соответствующая ей приближенная (асимптотическая) характеристика Lа(w) в виде прямолинейных отрезков (тонкая линия). Частоты, соответствующие точкам стыковки отрезков, называют сопрягающими и обозначают wс.
По виду частотных характеристик все элементы делятся на две группы:
- минимально-фазовые;
- неминимально-фазовые.
Минимально-фазовый элемент – элемент, у которого все полюсы и нули передаточной функции W(p) имеют отрицательные действительные части.
Минимально-фазовые элементы дают минимальный фазовый сдвиг j (w) по сравнению с любыми другими элементами, имеющими такую же амплитудную характеристику A(w ) , но у которой действительная часть хотя бы одного полюса или нуля положительна.
Минимально-фазовые элементы обладают важным для практических расчетов свойством: их частотная передаточная функция полностью определяется одной из трех составляющих - A(w ), P(w ) и Q(w ). Это существенно упрощает задачи анализа и синтеза минимально-фазовых систем.
2.4.5. Пример определения статических и динамических характеристик элемента АСУ
Для элемента АСУ (четырехполюсника), схема и параметры которого приведены на рис. 2.14, найдем следующие статические и динамические характеристики:
- дифференциальное уравнение;
- переходную функцию;
- передаточную функцию;
- передаточный коэффициент;
частотные (амплитудно-фазовую, амплитудную, фазовую, логарифмическую амплитудную)характеристики
Рис. 2.14. Схема и параметры элемента
Составление дифференциального уравнения элемента
В соответствии с законами линейных электрических цепей записываем следующие уравнения:
r i+ uc = e ; (2.41)
(2.42)
Подставляя значение тока i из выражения (2.42) в уравнение (2.41) получаем дифференциальное уравнение
(2.43)
Подставляя параметры r и c четырехполюсника (рис. 2.15) в уравнение (2.43) получаем искомое дифференциальное уравнение элемента
(2.44)
Нахождение переходной функции элемента
Полагаем входной сигнал четырехполюсника равным единичному ступенчатому воздействию e = 1(t). Тогда его выходной сигнал будет равен переходной функции uc = h(t).
Учитывая сказанное в уравнении (2.44), приводим его к виду:
1(t). (2.45)
Вынужденную составляющую переходной функции находим из уравнения (2.45), полагая в нем производную dh(t)/dt)= 0,
hв(t) = 1. (2.46)
Составляем характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (2.45)
0,1p + 1 = 0. (2.47)
Корень характеристического уравнения
p = -10.
Свободную составляющую переходной функции находим по выражению (2.21) при n = 1 и p1 =-10
(2.48)
Находим переходную функцию, суммируя ее вынужденную (2.46) и свободную (2.48) составляющие,
h(t)= hв(t) + hс(t) = (2.49)
з уравнения (2.49) при нулевых начальных условиях (h(0)= 0 ) определяем коэффициент
C1 = -1.
Подставляя значение этого коэффициента в выражение (2.49), находим искомую переходную функцию элемента
(2.50)
График переходной функции элемента приведен на рис. 2.15.
Рис. 2.15. График переходной функции элемента
Нахождение передаточной функции элемента
В дифференциальном уравнении (2.44) степени полиномов правой и левой частей соответственно m = 0 и n = 1. Тогда коэффициенты этого уравнения b0 = 1; a0 = 0,1; a1 = 1.
При этих коэффициентах по выражению (2.30) находим искомую передаточную функцию элемента
(2.51)
Нахождение передаточного коэффициента элемента
Искомый передаточный коэффициент элемента находим по выражению (2.31) при b0 = 1и a1 = 1
(2.52)
или из выражения (2.51) при p=0
(2.53)
Определение частотных характеристик элемента
Амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ) элемента находим из выражения (2.38) путем подстановки в него передаточной функции (2.51) при p = jw :
(2.54)
Вид АФЧХ на комплексной плоскости приведен на рис. 2.16, а.
Из выражения (2.54) находим действительную и мнимую частотные характеристики
(2.55)
(2.56)
Подставляя значения этих характеристик в выражения (2.39) и (2.40), находим искомые выражения соответственно для амплитудной и фазовой частотных характеристик:
(2.57)
(2.58)
Графики амплитудной и фазовой частотных характеристик приведены на рис. 2.16, б,в.
Гр
Рис. 2.16. Частотные характеристики элемента
а – амплитудно – фазовая, б – амплитудная, в – фазовая.
Поделиться с друзьями: